RPS - Łańcuchy Markowa - zadania

Zad. 1. Podaj rozkład na klasy egrodyczne Łańcuch Markowa o macierzy przejścia P = [(1/3, 0, 0, 0), (1/3, 1/2, 1/3, 0), (0, 1/2, 2/3, 0), (1/3, 0, 0, 1)]. Klasy ergodyczne to zamknięte klasy (silnie spójne składowe w grafie przejść) stanów chwilowych i powracających. Ćw. 10.1. Zad. 2. Łańcuch Markowa ma stany {0,1,2} i macierz przejścia P = [(1/2, 1/3. 0), (1/4, 1/3, 0), (1/4, 1/3, 1)]. Oblicz prawdopodobieństwa osiągnięca stanu dla każdej pary stanów. Ćw. 10.2. Zad. 3. Oblicz średnie czasy powrotu dla wszystkich stanów Łańcucha Markowa o macierzy przejścia P = [(1/4, 2/3), (3/4, 1/3)], bezpośrednio z formuły mu_s = E(T_s), gdzie T_s to zmienna losowa czasu powrotu do stanu s. Policz stan stacjonarny. Czy jest jedyny? Ćw. 10.3. Zad. 4. Mamy nieskończony ciąg prób Bernoulliego z p-stwem sukcesu p. Jaka jest oczekiwana liczba prób do chwilii pojawienia się ciągu SPPS (S - sukces, P - porażka)? Zad. 5. Dwóch graczy rzuca symetryczną monetą. Jeden obstawia, że najpierw pojawi się OOR, a drugi, że najpierw pojawi się: a) ORR, b) RRO (O - orzeł, R - reszka). Jakie p-stwa wygrania mają gracze i jaki jest oczekiwany czas gry? Wskazówka: żeby się nie zaliczyć można ułóżyć równanie rekurencyjne na oczekiwany czas gry. Z.d. 10.1. Zad. 6. Na szalce 2x2 hodujemy bakterie. Każde pole może zawierać jedną bakterię. Początkowo kolonia składa się z jednej bakterii. Co sekundę (jednocześnie) żyjąca bakteria umiera z p-stwem 1/2 a na pustym polu sąsiadującym w poprzedniej sekundzie z co najmniej z jedną bakterią z p-stwem 1/2 pojawia się bakteria. Oblicz oczekiwany czas życia kolonii i p-stwo tego, że kolonia kiedykolwiek zapełni całą szalkę. Zad. 7. Dwaj gracze rzucają na przemian symetryczną monetą. Wygrywa ten, który wyrzuci orła bezpośrednio po orle wyrzuconym przez poprzednika. Jakie jest: a) p-stwo, że wygra pierwszy gracz, b) oczekiwana liczba rzutów? Zad. 8. Cztery mrówki znajdują się w jednym wierzchołku czworościanu. Co sekundę każda z nich z p-stwem 1/4 przechodzi do sąsiedniego wierzchołka lub pozostaje na miejscu. Jaka jest oczekiwana liczba zajętych przez mrówki wierzchołków po upływie 1 sekundy oraz oczekiwany czas pierwszego zajęcia wszystkich wierzchołków jednocześnie? Zad. 9. Dwie cząstki znajdują się w przeciwległych wierzchołkach sześcianu. Co sekundę każda z nich z p-stwem 1/4 przechodzi do sąsiedniego wierzchołka lub pozostaje na miejscu. Jaki jest oczekiwany czas kolizji cząstek (tzn. spotkania cząstek w jednym wierzchołku)? Zad. 11. Przy okrągłym stole siedzi trzech graczy A, B, C, każdy z jednym żetonem. W każdym kroku gry, jednocześnie każdy gracz z co najmniej jednym żetonem z p-stwem 1/2 przekazuje żeton graczowi po prawej. Grę wygrywa gracz, który zgromadzi wszystkie żetony. Ile wynosi oczekiwany czas gry? Zad. 12. Trzech graczy A, B, C rozgrywa turniej. W każdej turze toczony jest równorzędny pojedynek (dwóch graczy, każdy wygrywa z p-stem 1/2). Po turze przegrywający z pary ustępuje miejsca czekającemu graczowi. Wygrywa gracz, która pokona obu przeciwników pod rząd. Zaczynają gracze A i B. Jakie są p-stwa zwycięstwa dla poszczególnych graczy?